第142章 别出一格的解法！
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陆天手持圆珠笔，笔尖不断在纸张上滑动，一个个优美的数字出现。
字很漂亮。
但......这是数学，字写的漂亮并没有任何作用！
吴老在心中感叹，小李这是看走眼了啊！
其他六位高中生此时也已经有人动笔了，而且有人的思路是正确的，正在得出正确答案的道路上一路狂飙。
反观陆天，这题解的，属实是有点抽象了。
吴老甚至都不知道他是在算些什么。
可突的，吴老一愣！
因为一个熟悉的数字出现在了他的视野海中。
正是论证过程中，某一阶段的重要数字。
“这......”
吴老懵了，随即倒吸一口冷气，一个惊天的想法出现。
难道......陆天是在用另一种解法解题？？
可是国际上的那些有名的数学家，当时也只是给出了一个标准答案而已啊！
事实上，陆天确实是在用另一种方法解题。
他用到的方法叫做“韦达跳跃”。
“韦达跳跃”的概念其实都只是来自高中数学，没有什么高深的，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力发挥得淋漓尽致而已。
这技巧牵涉到两个重要数学知识：一是韦达定理，一是无穷递降法。
韦达定理其实就是二次方程中根的和与积及系数的关系：
设一元二次方程 ax2+bx+c=0 有根a与β，那么a+β = -b\/a，aβ=c\/a。
这是香港那边，高中数学第一课的内容，是广为人知的。
虽然课程没有用到韦达定理这个很专业的名称。
至于无穷递降法则是一种反证法，用的是“没有最小，只有更小”的概念。
如果我们假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该有一最小的解。
然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”，这与方程式有最小解互相矛盾。
唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。
这个方法最先由地球上的大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。
欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。
值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出证明。
此时，陆天的白纸上已经写满了数字，吴老站在后面，是越看越激动！
真的是另一种解法！
而且比起国际上那些数学专家们给出的标准解法更加的完美漂亮，别出一格！
这要是宣传出去，恐怕整个数学界都要震惊于陆天的奇思妙想！
是怎么样的一个聪明大脑，才能想出如此精彩独到的解题方法！
只见陆天在纸上写道，
“ab+1可以整除a2+b2，所以 (a2+b2)\/(ab+1) 是正整数。
设有正整数a及b满足(a2+b2)\/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。
在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响 (a12+ b12)\/(a1b1 +1) 的值，所以我们不妨假设a1＞= b1。
将a1与b1代入上面的式子得到......
a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+ (b12-k) = 0 的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......
由此进一步得到a2需要满足的条件。
根据 (1)，a2必为整数。
根据 (2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。
k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)\/(a2b1+1) = k，显然a2不可以是负数。
根据上方假设过 a1＞= b1，因此根据 (2)，a2必定小于a1。
综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+ b12)\/(a2b1 +1) = k，其中k不是平方数。
a2与b1是满足(a2+b2)\/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。
之前已经假设a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。
因此证明，如果正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)\/(ab+1)必定是平方数！”
洋洋洒洒，十分钟不到的功夫，陆天已经将手下一整张A4纸写的密密麻麻，几乎全是数字。
“我证明完了！”
陆天说着话，回头一看，映入眼帘的，就是一张激动的不可自抑的老脸。
吴老激动坏了！
他真的激动坏了！
这个小陆，真的是天才，完完全全的数学天才！
思维开阔，想象力丰富。
整篇的论证下来，几乎都是高中的数学知识！
“有希望了啊！有希望了啊！”
吴老心中呢喃，这么多年了，他总算是看到京城大学数学系有超越水木大学的希望了！
小李没有说错，不，还是说错了！
吴老心中那个激动啊，这个小陆同学，哪止是给京城大学加五成的胜率啊！
小李还是低估了！
九成！！
在吴老看来，有陆天在，京城大学在这次的国际数学竞赛中，至少有九成的概率夺得冠军！
而只要冠军一拿，在今年的全国高校专业评比中，京城大学是极有可能反超水木大学，数学专业成为全国第一！
“呃，吴老，我做的对吗？”
见到面前的小老头一直笑着不说话，陆天都有点懵了。
您笑的我害怕！
他知道自己长得帅，可这小老头脸上都笑成了一朵花了是怎么回事？
自己的魅力有这么大吗？
“咳咳！”
听到陆天的声音，吴老也迅速反应了过来，尴尬一笑，“对！证明思路都是对的！恭喜你，小陆同学！”
陆天手持圆珠笔，笔尖不断在纸张上滑动，一个个优美的数字出现。
字很漂亮。
但......这是数学，字写的漂亮并没有任何作用！
吴老在心中感叹，小李这是看走眼了啊！
其他六位高中生此时也已经有人动笔了，而且有人的思路是正确的，正在得出正确答案的道路上一路狂飙。
反观陆天，这题解的，属实是有点抽象了。
吴老甚至都不知道他是在算些什么。
可突的，吴老一愣！
因为一个熟悉的数字出现在了他的视野海中。
正是论证过程中，某一阶段的重要数字。
“这......”
吴老懵了，随即倒吸一口冷气，一个惊天的想法出现。
难道......陆天是在用另一种解法解题？？
可是国际上的那些有名的数学家，当时也只是给出了一个标准答案而已啊！
事实上，陆天确实是在用另一种方法解题。
他用到的方法叫做“韦达跳跃”。
“韦达跳跃”的概念其实都只是来自高中数学，没有什么高深的，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力发挥得淋漓尽致而已。
这技巧牵涉到两个重要数学知识：一是韦达定理，一是无穷递降法。
韦达定理其实就是二次方程中根的和与积及系数的关系：
设一元二次方程 ax2+bx+c=0 有根a与β，那么a+β = -b\/a，aβ=c\/a。
这是香港那边，高中数学第一课的内容，是广为人知的。
虽然课程没有用到韦达定理这个很专业的名称。
至于无穷递降法则是一种反证法，用的是“没有最小，只有更小”的概念。
如果我们假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该有一最小的解。
然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”，这与方程式有最小解互相矛盾。
唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。
这个方法最先由地球上的大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。
欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。
值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出证明。
此时，陆天的白纸上已经写满了数字，吴老站在后面，是越看越激动！
真的是另一种解法！
而且比起国际上那些数学专家们给出的标准解法更加的完美漂亮，别出一格！
这要是宣传出去，恐怕整个数学界都要震惊于陆天的奇思妙想！
是怎么样的一个聪明大脑，才能想出如此精彩独到的解题方法！
只见陆天在纸上写道，
“ab+1可以整除a2+b2，所以 (a2+b2)\/(ab+1) 是正整数。
设有正整数a及b满足(a2+b2)\/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。
在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响 (a12+ b12)\/(a1b1 +1) 的值，所以我们不妨假设a1＞= b1。
将a1与b1代入上面的式子得到......
a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+ (b12-k) = 0 的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......
由此进一步得到a2需要满足的条件。
根据 (1)，a2必为整数。
根据 (2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。
k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)\/(a2b1+1) = k，显然a2不可以是负数。
根据上方假设过 a1＞= b1，因此根据 (2)，a2必定小于a1。
综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+ b12)\/(a2b1 +1) = k，其中k不是平方数。
a2与b1是满足(a2+b2)\/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。
之前已经假设a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。
因此证明，如果正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)\/(ab+1)必定是平方数！”
洋洋洒洒，十分钟不到的功夫，陆天已经将手下一整张A4纸写的密密麻麻，几乎全是数字。
“我证明完了！”
陆天说着话，回头一看，映入眼帘的，就是一张激动的不可自抑的老脸。
吴老激动坏了！
他真的激动坏了！
这个小陆，真的是天才，完完全全的数学天才！
思维开阔，想象力丰富。
整篇的论证下来，几乎都是高中的数学知识！
“有希望了啊！有希望了啊！”
吴老心中呢喃，这么多年了，他总算是看到京城大学数学系有超越水木大学的希望了！
小李没有说错，不，还是说错了！
吴老心中那个激动啊，这个小陆同学，哪止是给京城大学加五成的胜率啊！
小李还是低估了！
九成！！
在吴老看来，有陆天在，京城大学在这次的国际数学竞赛中，至少有九成的概率夺得冠军！
而只要冠军一拿，在今年的全国高校专业评比中，京城大学是极有可能反超水木大学，数学专业成为全国第一！
“呃，吴老，我做的对吗？”
见到面前的小老头一直笑着不说话，陆天都有点懵了。
您笑的我害怕！
他知道自己长得帅，可这小老头脸上都笑成了一朵花了是怎么回事？
自己的魅力有这么大吗？
“咳咳！”
听到陆天的声音，吴老也迅速反应了过来，尴尬一笑，“对！证明思路都是对的！恭喜你，小陆同学！”