第一百一十章 IMO第一场
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如果在华山论剑上，郭靖看到欧阳锋使街头混混打架用的王八拳会作何感想？他一定会觉得这是欧阳锋在扮猪吃老虎——妥妥的有诈啊！
而此时的张伟就面临着这种情况——在IMO赛场上遇见高中课外作业级数的题目，这让张伟不得不怀疑其中有诈啊！
抱着怀疑的态度，张伟又把题审了一遍，得出的结论还是——太特么简单了！
再审一遍——还是很简单啊！
然后张伟就迷茫了。
他转头瞟了一眼隔壁桌的黑人兄弟——看黑人兄弟对着第一题抓耳挠腮的模样，这题应该是有难度的吧？
“难道是发错卷子了？”虽然这种可能性几乎没有，但比起让他相信IMO的考题就是特么这么简单，张伟倒更愿意相信自己是真的拿错卷子了！
纠结了半天，张伟最后还是没有选择做题，而是举手向监考老师示意了。
等监考老师过来，张伟吵着一口London英语向美国监考老师问到：“老师，请你帮我看一下，我是卷子是不是发错了。”
结果监考老师根本就不看张伟的卷子，直接回答道：“各支队伍的考卷都是由你们自己的领队翻译的，如果真的有错误，那也是你们领队翻译的错误。”
得了，直接把锅甩到刘干事头上了，但问题是现在也没办法拿着卷子去向刘干事求证啊！
“希望是我想多了吧......”如今这状况，张伟也只能这样安慰自己了。
再次把第一题从头到尾逐字逐句的审了一遍，在确定这一题就是特么这么简单之后，张伟无奈的开始下笔作答了：
“设两圆圆心为O，过O做OM垂直于BC......推理可知：
BC2+CA2+AB2
=BC2+（PC2+PA2）+(BP2+PA2)
=BC2+PC2+BP2+2PA2
=4(R2-t2)+2(R2+r2)-4t2+2PA2
=6R2+2r2
故表达式取值的集合为｛6R2+2r2｝.”
搞定第一问，用时不到十分钟！但是你以为光只有第一问简单吗？不，第二问更简单！
“过A作直线平行于CB，交大圆周于D及F两点，易见PBFA为一矩形，因此线段AB的中点也就是线段PF的中点。当B在大圆周上变动一周时，F也在大圆周上变动一周。这说明，轨迹是以线段OP的中心为圆心，以R/2为半径的一个圆周。”
第二问用时比第一问更短！
而做完整个第一题的耗时，特么还没有张伟刚才用来“怀疑人生”的时间长！
抱着忐忑的心情和怀疑的心态，张伟继续做第二题——第二题是道数论。
张伟记得单飞曾经说过，在高中奥数比赛中，最难的题目类型就是数论，其上限极高，可以难的让人怀疑智商放弃人生。
不过如今摆在张伟面前的这道数论题，很显然浪费了这种难度上限。
比第一题难——但也就是仅此而已。
虽然觉得题目太简单这种心态听起来挺贱的，但张伟就是忍不住啊！
第二题比第一题难一些，这次张伟用了二十多分钟。
然后是最后的压轴题，是道函数题。
将题目审了一遍——嗯，终于有点难度了，而且难度较之前面两题，一下子拔得非常高！
“这才有点奥数竞赛的样子嘛！”审了一遍题没找到思路，但这下反而让张伟安心了不少。
难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么？
摆正姿势摆正心态，张伟开始对第三题进行深入的审题：
N为正整数集.在N上定义函数?如下：
?（1）=1,?(3)=3,且对n∈N有
?(2n)=?(n),
?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),
?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).
问：有多少个n∈N，且n≤1998使得?（n）=n?
这题给出的条件还是非常多的，但是数学这东西，有时候已知的条件多，可并不见得是好事。
排除纯粹作为无用干扰项的可能，已知条件越多，通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。
这一题就是个典型。
张伟没有上来就找公理定律什么的，他觉得这一套在这里行不通。
他通过题目已知的几个函数等式，先列举出了一段结果，即在给出n的数值的情况下，算出对应?(n)的数值：
n1234567891011121314151617
?(n)113153719513311715117
如果换了普通人，看到这张表恐怕会更加懵逼，因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。
但是这两串数值真的是毫无规律吗？
数学有一种独特的美，这种美叫做“规律”；而数学的美往往隐藏的如此之深，让一般人根本无从发现。
很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学，而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛，他们因此而爱上了数学！
张伟不确定自己有没有爱上数学，但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛：
?2k=1，?2k-1=2k-1，?2k+1=2k+1
没有公式，没有定理，只能用一双眼睛，用数学归纳法来找到这种规律：?(n)的值是将n用二进制形式表示，再将他反向得到的二进制数值（例如11=1011，?（11）=1011=13）。
引入二进制后，使张伟解答这道题找到了可能。
得出?(n)的规律，再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。
假设论证的过程是复杂的，但再复杂的推理计算，也必然要遵循数学的规律，掌握了这些规律，在数学的赛场上你就是神！
由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立；
假设n=4m+1的形式，设：4m+1=......与猜想吻合。
假设n=4m+3的形式，设：4m+3=......与猜想吻合。
故证明猜想。
在这场数字的游戏中，张伟如神祇一般操控着一切，将纷繁的局面抽丝剥茧，大胆假设、小心求证，最后终于得出结论：
现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的，由于1024<1988<2048，所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有：1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个，其中1988=（11111000100），超过1988的对称的二进制数有（11111011111），（111111111111）。所以不超过1988，?(n)=n的个数的94-2=92.
得出结论，打完收功，张伟看看时间——十点半不到！
四个半小时的考试时间，才用了刚刚好一半！
如果在华山论剑上，郭靖看到欧阳锋使街头混混打架用的王八拳会作何感想？他一定会觉得这是欧阳锋在扮猪吃老虎——妥妥的有诈啊！
而此时的张伟就面临着这种情况——在IMO赛场上遇见高中课外作业级数的题目，这让张伟不得不怀疑其中有诈啊！
抱着怀疑的态度，张伟又把题审了一遍，得出的结论还是——太特么简单了！
再审一遍——还是很简单啊！
然后张伟就迷茫了。
他转头瞟了一眼隔壁桌的黑人兄弟——看黑人兄弟对着第一题抓耳挠腮的模样，这题应该是有难度的吧？
“难道是发错卷子了？”虽然这种可能性几乎没有，但比起让他相信IMO的考题就是特么这么简单，张伟倒更愿意相信自己是真的拿错卷子了！
纠结了半天，张伟最后还是没有选择做题，而是举手向监考老师示意了。
等监考老师过来，张伟吵着一口London英语向美国监考老师问到：“老师，请你帮我看一下，我是卷子是不是发错了。”
结果监考老师根本就不看张伟的卷子，直接回答道：“各支队伍的考卷都是由你们自己的领队翻译的，如果真的有错误，那也是你们领队翻译的错误。”
得了，直接把锅甩到刘干事头上了，但问题是现在也没办法拿着卷子去向刘干事求证啊！
“希望是我想多了吧......”如今这状况，张伟也只能这样安慰自己了。
再次把第一题从头到尾逐字逐句的审了一遍，在确定这一题就是特么这么简单之后，张伟无奈的开始下笔作答了：
“设两圆圆心为O，过O做OM垂直于BC......推理可知：
BC2+CA2+AB2
=BC2+（PC2+PA2）+(BP2+PA2)
=BC2+PC2+BP2+2PA2
=4(R2-t2)+2(R2+r2)-4t2+2PA2
=6R2+2r2
故表达式取值的集合为｛6R2+2r2｝.”
搞定第一问，用时不到十分钟！但是你以为光只有第一问简单吗？不，第二问更简单！
“过A作直线平行于CB，交大圆周于D及F两点，易见PBFA为一矩形，因此线段AB的中点也就是线段PF的中点。当B在大圆周上变动一周时，F也在大圆周上变动一周。这说明，轨迹是以线段OP的中心为圆心，以R/2为半径的一个圆周。”
第二问用时比第一问更短！
而做完整个第一题的耗时，特么还没有张伟刚才用来“怀疑人生”的时间长！
抱着忐忑的心情和怀疑的心态，张伟继续做第二题——第二题是道数论。
张伟记得单飞曾经说过，在高中奥数比赛中，最难的题目类型就是数论，其上限极高，可以难的让人怀疑智商放弃人生。
不过如今摆在张伟面前的这道数论题，很显然浪费了这种难度上限。
比第一题难——但也就是仅此而已。
虽然觉得题目太简单这种心态听起来挺贱的，但张伟就是忍不住啊！
第二题比第一题难一些，这次张伟用了二十多分钟。
然后是最后的压轴题，是道函数题。
将题目审了一遍——嗯，终于有点难度了，而且难度较之前面两题，一下子拔得非常高！
“这才有点奥数竞赛的样子嘛！”审了一遍题没找到思路，但这下反而让张伟安心了不少。
难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么？
摆正姿势摆正心态，张伟开始对第三题进行深入的审题：
N为正整数集.在N上定义函数?如下：
?（1）=1,?(3)=3,且对n∈N有
?(2n)=?(n),
?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),
?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).
问：有多少个n∈N，且n≤1998使得?（n）=n?
这题给出的条件还是非常多的，但是数学这东西，有时候已知的条件多，可并不见得是好事。
排除纯粹作为无用干扰项的可能，已知条件越多，通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。
这一题就是个典型。
张伟没有上来就找公理定律什么的，他觉得这一套在这里行不通。
他通过题目已知的几个函数等式，先列举出了一段结果，即在给出n的数值的情况下，算出对应?(n)的数值：
n1234567891011121314151617
?(n)113153719513311715117
如果换了普通人，看到这张表恐怕会更加懵逼，因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。
但是这两串数值真的是毫无规律吗？
数学有一种独特的美，这种美叫做“规律”；而数学的美往往隐藏的如此之深，让一般人根本无从发现。
很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学，而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛，他们因此而爱上了数学！
张伟不确定自己有没有爱上数学，但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛：
?2k=1，?2k-1=2k-1，?2k+1=2k+1
没有公式，没有定理，只能用一双眼睛，用数学归纳法来找到这种规律：?(n)的值是将n用二进制形式表示，再将他反向得到的二进制数值（例如11=1011，?（11）=1011=13）。
引入二进制后，使张伟解答这道题找到了可能。
得出?(n)的规律，再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。
假设论证的过程是复杂的，但再复杂的推理计算，也必然要遵循数学的规律，掌握了这些规律，在数学的赛场上你就是神！
由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立；
假设n=4m+1的形式，设：4m+1=......与猜想吻合。
假设n=4m+3的形式，设：4m+3=......与猜想吻合。
故证明猜想。
在这场数字的游戏中，张伟如神祇一般操控着一切，将纷繁的局面抽丝剥茧，大胆假设、小心求证，最后终于得出结论：
现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的，由于1024<1988<2048，所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有：1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个，其中1988=（11111000100），超过1988的对称的二进制数有（11111011111），（111111111111）。所以不超过1988，?(n)=n的个数的94-2=92.
得出结论，打完收功，张伟看看时间——十点半不到！
四个半小时的考试时间，才用了刚刚好一半！